Dreisatz einfach erklärt: Formel, Rechenweg und Beispiele
Der Dreisatz ist ein Rechenverfahren, mit dem Sie aus drei bekannten Werten einen vierten berechnen. Sie schließen zuerst auf eine Einheit und dann auf die gesuchte Menge. Wenn 3 kg Äpfel 7,50 € kosten, kostet 1 kg 2,50 €, und 5 kg kosten 12,50 €.
Hier lernen Sie den proportionalen, den antiproportionalen und den zusammengesetzten Dreisatz, die passenden Formeln, das Schema, Prozentrechnung mit Dreisatz und Beispiele aus Schule und Alltag. Jede Aufgabe können Sie mit unserem Dreisatz-Rechner mit Rechenweg prüfen.
Kurz: Proportional (je mehr, desto mehr): x = b × c ÷ a. Antiproportional (je mehr, desto weniger): x = a × b ÷ c. Immer zuerst auf 1 schließen.
Der proportionale Dreisatz
Beim proportionalen Dreisatz wachsen beide Größen im gleichen Verhältnis: doppelte Menge, doppelter Preis. Der Rechenweg hat drei Sätze, daher der Name:
- Aussagesatz: 3 kg kosten 7,50 €.
- Schluss auf die Einheit: 1 kg kostet 7,50 € ÷ 3 = 2,50 €.
- Schluss auf die Mehrheit: 5 kg kosten 2,50 € × 5 = 12,50 €.
Dreisatz Schema als Tabelle
| Menge | Preis |
|---|---|
| 3 kg | 7,50 € |
| ÷ 3 → 1 kg | ÷ 3 → 2,50 € |
| × 5 → 5 kg | × 5 → 12,50 € |
Was Sie links rechnen, rechnen Sie beim proportionalen Dreisatz rechts genauso.
Der antiproportionale (umgekehrte) Dreisatz
Beim antiproportionalen Dreisatz verhalten sich die Größen umgekehrt: Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit, höheres Tempo bedeutet kürzere Fahrzeit. Deshalb rechnen Sie auf der rechten Seite die Gegenoperation:
| Maler | Tage |
|---|---|
| 4 | 6 |
| ÷ 4 → 1 | × 4 → 24 |
| × 3 → 3 | ÷ 3 → 8 |
3 Maler brauchen 8 Tage. Das Produkt bleibt immer gleich: 4 × 6 = 3 × 8 = 24 Arbeitstage.
Proportional oder antiproportional erkennen
Stellen Sie die Frage: „Wenn die eine Größe steigt, steigt dann die andere auch?“ Ja heißt proportional, nein heißt antiproportional. Vorsicht bei Zuordnungen, die keines von beiden sind: Ein Handyvertrag mit Grundgebühr ist nicht proportional, weil die Grundgebühr immer anfällt.
Dreisatz Formeln
Die Formeln entstehen direkt aus dem Rechenweg. Für die proportionale Zuordnung gilt die Verhältnisgleichung a : b = c : x, daraus folgt x = b × c ÷ a (Kreuzmultiplikation). Für die antiproportionale Zuordnung gilt a × b = c × x.
Der zusammengesetzte Dreisatz
Hängt das Ergebnis von mehr als einer Größe ab, rechnen Sie mehrere Dreisätze nacheinander.
Beispiel: 5 Maschinen stellen in 8 Stunden 1 200 Teile her. Wie viele Teile stellen 3 Maschinen in 10 Stunden her?
- 1 Maschine in 8 Stunden: 1 200 ÷ 5 = 240 Teile.
- 1 Maschine in 1 Stunde: 240 ÷ 8 = 30 Teile.
- 3 Maschinen in 10 Stunden: 30 × 3 × 10 = 900 Teile.
Prüfen Sie bei jedem Schritt, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist.
Prozentrechnung mit Dreisatz
Prozentrechnung ist ein proportionaler Dreisatz mit dem Grundwert als 100 %.
| Prozent | Betrag |
|---|---|
| 100 % | 240 € |
| 1 % | 2,40 € |
| 18 % | 43,20 € |
18 % von 240 € sind 43,20 €. Genauso finden Sie den Grundwert: Wenn 15 % = 36 € sind, dann ist 1 % = 2,40 € und 100 % = 240 €.
Dreisatz im Alltag
Der Dreisatz begegnet Ihnen beim Kochen, Tanken, Einkaufen und auf Reisen. Beim Preisvergleich hilft der Grundpreis: 750 g für 3,60 € ergeben 4,80 € pro kg, 1 kg für 4,99 € ist also teurer.
Typische Fehler beim Dreisatz
- Proportional und antiproportional verwechseln. Fragen Sie immer „je mehr, desto …?“.
- Einheiten mischen: Minuten und Stunden, Gramm und Kilogramm vorher angleichen.
- Zu früh runden. Runden Sie erst das Endergebnis.
- Den Dreisatz auf nicht proportionale Größen anwenden, etwa Preise mit Grundgebühr oder Mengenrabatt.
Häufige Fragen
Was ist der Dreisatz einfach erklärt?
Ein Verfahren in drei Schritten: Aussage aufschreiben, auf eine Einheit schließen, auf die gesuchte Menge schließen.
In welcher Klasse lernt man den Dreisatz?
Meist in Klasse 6 oder 7, je nach Bundesland und Schulform. Er ist auch Teil vieler Einstellungstests.
Geht der Dreisatz auch mit Brüchen und Kommazahlen?
Ja. Der Rechenweg bleibt gleich, nur die Zahlen sind unhandlicher. Ein Taschenrechner oder unser Rechner hilft dabei.
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Mit den drei Schritten und der Frage „je mehr, desto …?“ lösen Sie jede Dreisatzaufgabe. Wenn es schnell gehen soll oder Sie Ihr Ergebnis kontrollieren möchten, nutzen Sie unseren Dreisatz-Rechner: Werte eingeben, Art wählen und den vollständigen Rechenweg sehen.
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